Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - 2}{x + 1} d x$

Этап 1

Разделим $x^{2} - 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					-	$x$	-	$1$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$
							-	$1$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{0}^{2} x - 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Этап 6.5

Добавим $2$ и $1$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$ и $- x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - x$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Этап 9.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $3$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0 - (0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 - (0 + 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.12

Вычтем $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ из $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Этап 11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

Этап 11.3

Разделим $3$ на $1$ .

$- \ln (3)$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \ln (3)$

Десятичная форма:

$- 1.09861228 \dots$

Этап 13