Математический анализ Примеры

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

Этап 4

Пусть $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Тогда $d u_{2} = - e^{- x} d x$ , следовательно $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 4.1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 4.1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$0 - e^{- x}$

Этап 4.1.4

Вычтем $e^{- x}$ из $0$ .

$- e^{- x}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 5

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + e^{- x}$ .

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$