Математический анализ Примеры

$(5 x + 1) e^{x}$

Этап 1

Запишем $(5 x + 1) e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = (5 x + 1) e^{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (5 x + 1) e^{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 5 x + 1$ и $d v = e^{x}$ .

$(5 x + 1) e^{x} - \int e^{x} \cdot 5 d x$

Этап 5

Перенесем $5$ влево от $e^{x}$ .

$(5 x + 1) e^{x} - \int 5 e^{x} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$(5 x + 1) e^{x} - (5 \int e^{x} d x)$

Этап 7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(5 x + 1) e^{x} - 5 \int e^{x} d x$

Этап 8

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$(5 x + 1) e^{x} - 5 (e^{x} + C)$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $(5 x + 1) e^{x} - 5 (e^{x} + C)$ в виде $5 x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x} + C$ .

$5 x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x} + C$

Этап 9.2

Вычтем $5 e^{x}$ из $e^{x}$ .

$5 x e^{x} - 4 e^{x} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (5 x + 1) e^{x}$ .

$F (x) =$ $5 x e^{x} - 4 e^{x} + C$