Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{3}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{5} x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.6

Объединим $\frac{- 15}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $- 15$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.7.2.4

Разделим $- 3 x^{4}$ на $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{4}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $9$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 35$ является константой относительно $x$ , производная $- 35 x^{3}$ по $x$ равна $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $- 35$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ и $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{3}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $36$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 105$ является константой относительно $x$ , производная $- 105 x^{2}$ по $x$ равна $- 105 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 (2 x)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $- 105$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 210 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.6

Объединим $\frac{- 15}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.7

Сократим общий множитель $- 15$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.7.2.4

Разделим $- 3 x^{4}$ на $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{4}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $9$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 35$ является константой относительно $x$ , производная $- 35 x^{3}$ по $x$ равна $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $3$ на $- 35$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 3 x^{2}$ из $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 3 x^{2}$ из $- 3 x^{4}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 3 x^{2}$ из $36 x^{3}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 105 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 3 x^{2}$ из $- 105 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- 3 x^{2}$ из $- 3 x^{2} (x^{2}) - 3 x^{2} (- 12 x)$ .

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 3 x^{2}$ из $- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} (35)$ .

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} - 12 x + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $35$ , а сумма — $- 12$ .

$- 7, - 5$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 x^{2} ((x - 7) (x - 5)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, 7, 5$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 7, 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(0)}^{3} + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Этап 9.1.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 108 \cdot 0 - 210 \cdot 0$

Этап 9.1.4

Умножим $108$ на $0$ .

$0 + 0 - 210 \cdot 0$

Этап 9.1.5

Умножим $- 210$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{4} + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $16$ .

$f' (- 2) = - 48 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 48 + 36 \cdot - 8 - 105 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $36$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 \cdot 4$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $- 105$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 420$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вычтем $288$ из $- 48$ .

$f' (- 2) = - 336 - 420$

Этап 10.2.2.2.2

Вычтем $420$ из $- 336$ .

$f' (- 2) = - 756$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 756$ .

$- 756$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 5)$ в первую производную $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - 3 {(2)}^{4} + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $- 3$ на $16$ .

$f' (2) = - 48 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = - 48 + 36 \cdot 8 - 105 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $36$ на $8$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 \cdot 4$

Этап 10.3.2.1.6

Умножим $- 105$ на $4$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 420$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $- 48$ и $288$ .

$f' (2) = 240 - 420$

Этап 10.3.2.2.2

Вычтем $420$ из $240$ .

$f' (2) = - 180$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 180$ .

$- 180$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(5, 7)$ в первую производную $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = - 3 {(6)}^{4} + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $4$ .

$f' (6) = - 3 \cdot 1296 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $- 3$ на $1296$ .

$f' (6) = - 3888 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = - 3888 + 36 \cdot 216 - 105 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $36$ на $216$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.5

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 \cdot 36$

Этап 10.4.2.1.6

Умножим $- 105$ на $36$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 3780$

Этап 10.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Добавим $- 3888$ и $7776$ .

$f' (6) = 3888 - 3780$

Этап 10.4.2.2.2

Вычтем $3780$ из $3888$ .

$f' (6) = 108$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $108$ .

$108$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $10$ , из интервала $(7, \infty)$ в первую производную $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f' (10) = - 3 {(10)}^{4} + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $10$ в степень $4$ .

$f' (10) = - 3 \cdot 10000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $10000$ .

$f' (10) = - 30000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f' (10) = - 30000 + 36 \cdot 1000 - 105 {(10)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $36$ на $1000$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 {(10)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.5

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 \cdot 100$

Этап 10.5.2.1.6

Умножим $- 105$ на $100$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 10500$

Этап 10.5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Добавим $- 30000$ и $36000$ .

$f' (10) = 6000 - 10500$

Этап 10.5.2.2.2

Вычтем $10500$ из $6000$ .

$f' (10) = - 4500$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $- 4500$ .

$- 4500$

Этап 10.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 5$ , $x = 5$ — локальный минимум.

$x = 5$ — локальный минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 7$ , $x = 7$ — локальный максимум.

$x = 7$ — локальный максимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ .

$x = 5$ — локальный минимум

$x = 7$ — локальный максимум

$x = 5$ — локальный минимум

$x = 7$ — локальный максимум

Этап 11