Математический анализ Примеры

$[8 (4^{x})]$

Этап 1

Запишем $[8 (4^{x})]$ в виде функции.

$f (x) = [8 (4^{x})]$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

Этап 4

Избавимся от скобок.

$\int 8 (4^{x}) d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

Этап 5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

Этап 5.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

Этап 6

Пусть $u = 3 + 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 3 + 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $3 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

По правилу суммы производная $3 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 6.1.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 7

Объединим $2^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Этап 9

Интеграл $2^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Этап 10.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $3 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 8 (4^{x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$