Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Этап 2

Разделим $x^{3}$ на $x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 - 4 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 2.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

Этап 2.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

Этап 6

Пусть $u = x^{2} - 4$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x^{2} - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 6.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Этап 7.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

Этап 11

Упростим.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Этап 13.2

Чтобы записать $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

Этап 13.3

Объединим $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

Этап 13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Этап 13.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Этап 13.5.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

Этап 13.6

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$