Математический анализ Примеры

$y = \cos (θ) \cot (θ)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \cos (θ)$ и $g (θ) = \cot (θ)$ .

$\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cot (θ)] + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 2

Производная $\cot (θ)$ по $θ$ равна $- \csc^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 3

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) (- \sin (θ))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- \csc^{2} (θ) \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\csc (θ)$ через синусы и косинусы.

$- {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Этап 4.2.4

Объединим $\cos (θ)$ и $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ .

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cot (θ) \sin (θ)$

Этап 4.2.5

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим круглые скобки.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\cot (θ) \sin (θ))$

Этап 4.2.5.2

Выразим $- \cot (θ) \sin (θ)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ))$

Этап 4.2.5.3

Сократим общие множители.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cos (θ)$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin^{2} (θ)$ .

$- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} - \cos (θ)$

Этап 4.3.2

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ)$

Этап 4.3.3

Переведем $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ в $\cot (θ)$ .

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ)) - \cos (θ)$

Этап 4.3.4

Переведем $\frac{1}{\sin (θ)}$ в $\csc (θ)$ .

$- \csc (θ) \cot (θ) - \cos (θ)$