Математический анализ Примеры

$\int {(4 + e^{x})}^{- 4} e^{x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 + e^{x}$ . Тогда $d u = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 + e^{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$e^{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{- 4} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{- 4}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Этап 3.2.2

Перенесем $3$ влево от $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $4 + e^{x}$ .

$- \frac{1}{3 {(4 + e^{x})}^{3}} + C$