Математический анализ Примеры

$\frac{x + 1}{2 x + 3}$

Этап 1

Запишем $\frac{x + 1}{2 x + 3}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 3}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x + 1}{2 x + 3} d x$

Этап 4

Разделим $x + 1$ на $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$3$

$x$

$1$

Этап 4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$

Этап 4.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			+	$x$	+	$\frac{3}{2}$

Этап 4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + \frac{3}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			-	$x$	-	$\frac{3}{2}$

Этап 4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			-	$x$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 3} d x)$

Этап 9

Пусть $u = 2 x + 3$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 9.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 9.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 9.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 9.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 9.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 10.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 3 |) + C$