Математический анализ Примеры

$\int \frac{9}{2 {(9 - 2 x)}^{\frac{1}{4}}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{9}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{9}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{1}{4}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 9 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 9 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $9 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} \int - \frac{1}{u^{\frac{1}{4}} \cdot 2} d u$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{9}{2} \int - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{4}}} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{2} (- \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{4}}} d u)$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{2} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u))$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{9}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Этап 6.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем $u^{\frac{1}{4}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{9}{4} \int {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Этап 6.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{4} \int u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Этап 6.2.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$- \frac{9}{4} \int u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Этап 6.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{4} \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{4}}$ по $u$ имеет вид $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{9}{4} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- \frac{9}{4} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$ в виде $- \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ .

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{9}{4}$ .

$- \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $4$ на $9$ .

$- \frac{36}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$- \frac{36}{12} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $36$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вынесем множитель $12$ из $36$ .

$- \frac{12 \cdot 3}{12} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$- \frac{12 \cdot 3}{12 (1)} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{12 \cdot 3}{12 \cdot 1} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{1} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$- 1 \cdot 3 u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8.2.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $9 - 2 x$ .

$- 3 {(9 - 2 x)}^{\frac{3}{4}} + C$