Математический анализ Примеры

$\int \frac{- 4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x)$

Этап 4

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Этап 4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - 36 x^{2}}} d x$

Этап 4.3

Перепишем $36 x^{2}$ в виде ${(6 x)}^{2}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(6 x)}^{2}}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 6 x$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- 4 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u)$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$- 4 (\frac{1}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $- 4$ .

$\frac{- 4}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Этап 8.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Этап 8.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Этап 8.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Этап 8.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Этап 8.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Этап 8.2

Перепишем $- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ в виде $- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} (6 x)) + C$

Этап 10

Объединим $\arcsin (\frac{1}{4} (6 x))$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) \cdot 2}{3} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) + C$