Математический анализ Примеры

$y = (- x^{2} + e^{x}) (2 \sin (x) + \cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - x^{2} + e^{x}$ и $g (x) = 2 \sin (x) + \cos (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 \sin (x) + \cos (x)] + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $- x^{2} + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 5.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- 2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- 2 x + e^{x})$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (- 2 x + e^{x}) (2 \sin (x) + \cos (x))$