Математический анализ Примеры

$F (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 3}$ при $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$
	$2$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$
	$2$	$9$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(9)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(27)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$
	$2$	$9$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$
	$2$	$9$	$14$

Этап 2.7

Умножим последний элемент в области результата $(14)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(42)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$	$42$
	$2$	$9$	$14$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$	$42$
	$2$	$9$	$14$	$27$

Этап 2.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + 9 x + 14 + \frac{27}{x - 3}$

Этап 3

Поскольку $3 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $3$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $3$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + \frac{3}{2}}$ при $x = - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$
	$2$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$
	$2$	$0$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$
	$2$	$0$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$
	$2$	$0$	$- 13$

Этап 4.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 13)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(\frac{39}{2})$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$	$\frac{39}{2}$
	$2$	$0$	$- 13$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$	$\frac{39}{2}$
	$2$	$0$	$- 13$	$\frac{9}{2}$

Этап 4.9

$2 x^{2} + 0 x - 13 + \frac{\frac{9}{2}}{x + \frac{3}{2}}$

Этап 4.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 13 + \frac{9}{2 x + 3}$

Этап 5

Поскольку $- \frac{3}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{3}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{3}{2}$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 5}$ при $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(10)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$
	$2$	$13$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(13)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(65)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$
	$2$	$13$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$
	$2$	$13$	$52$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(52)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(260)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$	$260$
	$2$	$13$	$52$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$	$260$
	$2$	$13$	$52$	$245$

Этап 6.9

$2 x^{2} + 13 x + 52 + \frac{245}{x - 5}$

Этап 7

Поскольку $5 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $5$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $5$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + 5}$ при $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 10)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$
	$2$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$
	$2$	$- 7$

Этап 8.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 7)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(35)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$
	$2$	$- 7$

Этап 8.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$
	$2$	$- 7$	$22$

Этап 8.7

Умножим последний элемент в области результата $(22)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 110)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$	$- 110$
	$2$	$- 7$	$22$

Этап 8.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$	$- 110$
	$2$	$- 7$	$22$	$- 125$

Этап 8.9

$2 x^{2} + - 7 x + 22 + \frac{- 125}{x + 5}$

Этап 8.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 7 x + 22 - \frac{125}{x + 5}$

Этап 9

Поскольку $- 5 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 5$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 5$

Этап 10

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - \frac{5}{2}}$ при $x = \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 10.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 10.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$
	$2$

Этап 10.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$
	$2$	$8$

Этап 10.5

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(20)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$
	$2$	$8$

Этап 10.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$
	$2$	$8$	$7$

Этап 10.7

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(\frac{35}{2})$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$8$	$7$

Этап 10.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$8$	$7$	$\frac{5}{2}$

Этап 10.9

$2 x^{2} + 8 x + 7 + \frac{\frac{5}{2}}{x - \frac{5}{2}}$

Этап 10.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} + 8 x + 7 + \frac{5}{2 x - 5}$

Этап 11

Поскольку $\frac{5}{2} > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $\frac{5}{2}$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $\frac{5}{2}$

Этап 12

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 15}$ при $x = 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 12.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 12.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(15)$ и запишем их произведение $(30)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$
	$2$

Этап 12.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$
	$2$	$33$

Этап 12.5

Умножим последний элемент в области результата $(33)$ на делитель $(15)$ и запишем их произведение $(495)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$
	$2$	$33$

Этап 12.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$
	$2$	$33$	$482$

Этап 12.7

Умножим последний элемент в области результата $(482)$ на делитель $(15)$ и запишем их произведение $(7230)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$	$7230$
	$2$	$33$	$482$

Этап 12.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$	$7230$
	$2$	$33$	$482$	$7215$

Этап 12.9

$2 x^{2} + 33 x + 482 + \frac{7215}{x - 15}$

Этап 13

Поскольку $15 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $15$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $15$

Этап 14

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + 15}$ при $x = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 14.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 14.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 15)$ и запишем их произведение $(- 30)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$
	$2$

Этап 14.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$
	$2$	$- 27$

Этап 14.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 27)$ на делитель $(- 15)$ и запишем их произведение $(405)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$
	$2$	$- 27$

Этап 14.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$
	$2$	$- 27$	$392$

Этап 14.7

Умножим последний элемент в области результата $(392)$ на делитель $(- 15)$ и запишем их произведение $(- 5880)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$	$- 5880$
	$2$	$- 27$	$392$

Этап 14.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$	$- 5880$
	$2$	$- 27$	$392$	$- 5895$

Этап 14.9

$2 x^{2} + - 27 x + 392 + \frac{- 5895}{x + 15}$

Этап 14.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 27 x + 392 - \frac{5895}{x + 15}$

Этап 15

Поскольку $- 15 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 15$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 15$

Этап 16

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - \frac{15}{2}}$ при $x = \frac{15}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 16.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 16.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(15)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$
	$2$

Этап 16.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$
	$2$	$18$

Этап 16.5

Умножим последний элемент в области результата $(18)$ на делитель $(\frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(135)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$
	$2$	$18$

Этап 16.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$
	$2$	$18$	$122$

Этап 16.7

Умножим последний элемент в области результата $(122)$ на делитель $(\frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(915)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$	$915$
	$2$	$18$	$122$

Этап 16.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$	$915$
	$2$	$18$	$122$	$900$

Этап 16.9

$2 x^{2} + 18 x + 122 + \frac{900}{x - \frac{15}{2}}$

Этап 16.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} + 18 x + 122 + \frac{1800}{2 x - 15}$

Этап 17

Поскольку $\frac{15}{2} > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $\frac{15}{2}$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $\frac{15}{2}$

Этап 18

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + \frac{15}{2}}$ при $x = - \frac{15}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Этап 18.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Этап 18.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(- 15)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$
	$2$

Этап 18.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$
	$2$	$- 12$

Этап 18.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 12)$ на делитель $(- \frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(90)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$
	$2$	$- 12$

Этап 18.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$
	$2$	$- 12$	$77$

Этап 18.7

Умножим последний элемент в области результата $(77)$ на делитель $(- \frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(- \frac{1155}{2})$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$	$- \frac{1155}{2}$
	$2$	$- 12$	$77$

Этап 18.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$	$- \frac{1155}{2}$
	$2$	$- 12$	$77$	$- \frac{1185}{2}$

Этап 18.9

$2 x^{2} + - 12 x + 77 + \frac{- \frac{1185}{2}}{x + \frac{15}{2}}$

Этап 18.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 12 x + 77 - \frac{1185}{2 x + 15}$

Этап 19

Поскольку $- \frac{15}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{15}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{15}{2}$

Этап 20

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $3, 5, \frac{5}{2}, 15, \frac{15}{2}$

Нижние границы: $- \frac{3}{2}, - 5, - 15, - \frac{15}{2}$

Этап 21