Математический анализ Примеры

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Этап 2

Пусть $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Тогда $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 2.1.3

Выразим $\sec (3 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 2.1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 2.1.5

Умножим $\cos (3 x)$ на $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 2.1.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.1.6.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.1.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.1.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Этап 2.1.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Этап 2.1.7.3.2

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Добавим круглые скобки.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Этап 2.1.8.1.2

Изменим порядок $\cos (3 x)$ и $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Этап 2.1.8.1.3

Выразим $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ через синусы и косинусы.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Этап 2.1.8.1.4

Сократим общие множители.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Этап 2.1.8.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Этап 2.1.8.3

Выразим $\tan (3 x)$ через синусы и косинусы.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 2.1.8.4

Объединим $3$ и $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 2.1.8.5

Разделим дроби.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 2.1.8.6

Переведем $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ в $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Этап 2.1.8.7

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

Этап 3

Объединим $u_{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u_{3}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ в виде $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$