Математический анализ Примеры

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Этап 2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 3.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 3.5

Объединим $\tan^{2} (x)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

Этап 3.6

Объединим $\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

Этап 3.7

Перенесем $3$ влево от $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Этап 3.8.2

Разделим $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 4.2

Вынесем множитель $\sec^{2} (x)$ из $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $\sec^{2} (x)$ из $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

Этап 4.2.2

Умножим на $1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $\sec^{2} (x)$ из $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 4.3

Применим формулу Пифагора.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4.4

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

Этап 4.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\sec^{4} (x)$