Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

Этап 1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ на $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ на $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Этап 2.2

Возведем $\sqrt{4 + e^{t}}$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Этап 2.3

Возведем $\sqrt{4 + e^{t}}$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

Этап 2.6

Перепишем ${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ в виде $4 + e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 + e^{t}}$ в виде ${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Этап 2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Этап 2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Этап 2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

Этап 2.6.5

Упростим.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

Этап 3

Возьмем производную от $\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Этап 5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Этап 6

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

Этап 8.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

Этап 8.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

Этап 8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

Этап 8.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

Этап 8.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

Этап 8.4.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

Этап 8.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$