Математический анализ Примеры

$\int \frac{\tan (11 \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 1.3

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 1.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Тогда $d u = \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 2.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 2.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$11 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.1.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$11 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.1.10

Объединим $11$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{11 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.1.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{2}{11} \tan (u) d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{11}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{2}{11}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{11} \int \tan (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\tan (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{2}{11} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (u) |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (11 x^{\frac{1}{2}}) |) + C$