Математический анализ Примеры

$x \ln (x^{2} + 4 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x^{2} + 4 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 4 x)] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 4 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 4 x$ .

$x (\frac{1}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{x^{2} + 4 x}$ и $x$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \cdot 1) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \cdot 1$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $\ln (x^{2} + 4 x)$ на $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x)$

Этап 3.8.2

Изменим порядок членов.

$(2 x + 4) \frac{x}{x^{2} + 4 x} + \ln (x^{2} + 4 x)$