Математический анализ Примеры

$\int (\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x} d x$

Этап 3

Разделим $3 x^{2} + 4 x + 1$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{2}$

$4 x$

$1$

Этап 3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

Этап 3.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$0$

Этап 3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + 0$ .

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$

Этап 3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$

Этап 3.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

Этап 3.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

Этап 3.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$0$

Этап 3.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x + 0$ .

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$

Этап 3.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$
							+	$1$

Этап 3.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 + \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int 3 x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (3 \int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \ln (| x |) + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{2}}{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$

Этап 10.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$