Математический анализ Примеры

f (x) = - | x | + 7

$f (x) = - | x | + 7$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная

- | x | + 7

$- | x | + 7$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$ .

\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- | x |]

$\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- | x |

$- | x |$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [| x |]

$- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]

$- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2.2

Производная

| x |

$| x |$ по

x

$x$ равна

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$ .

- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку

7

$7$ является константой относительно

x

$x$ , производная

7

$7$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

- \frac{x}{| x |} + 0

$- \frac{x}{| x |} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим

- \frac{x}{| x |}

$- \frac{x}{| x |}$ и

0

$0$ .

- \frac{x}{| x |}

$- \frac{x}{| x |}$

- \frac{x}{| x |}

$- \frac{x}{| x |}$

- \frac{x}{| x |}

$- \frac{x}{| x |}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

f (x) = - 1

$f (x) = - 1$ и

g (x) = \frac{x}{| x |}

$g (x) = \frac{x}{| x |}$ .

f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

f (x) = x

$f (x) = x$ и

g (x) = | x |

$g (x) = | x |$ .

f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Умножим

| x |

$| x |$ на

1

$1$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Производная

| x |

$| x |$ по

x

$x$ равна

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

Объединим

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$ и

x

$x$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.7

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.9

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.10

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 1

$- 1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$ на

0

$0$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Этап 2.11.2

Добавим

- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ и

0

$0$ .

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Чтобы записать

| x |

$| x |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{| x |}{| x |}

$\frac{| x |}{| x |}$ .

f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.3.1

Умножим

| x | | x |

$| x | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.3.1.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.2

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.3

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

f'' (x) = - \frac{\frac{∣ ∣ x^{1 + 1} ∣ ∣ - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

f'' (x) = - \frac{\frac{∣ ∣ x^{2} ∣ ∣ - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

f'' (x) = - \frac{\frac{∣ ∣ x^{2} ∣ ∣ - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.3

Вычтем

x^{2}

$x^{2}$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.4

Разделим

0

$0$ на

| x |

$| x |$ .

f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.2

Уберем знак модуля в

{| x |}^{2}

${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Этап 2.12.3

Разделим

0

$0$ на

x^{2}

$x^{2}$ .

f'' (x) = - 0

$f'' (x) = - 0$

Этап 2.12.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

f'' (x) = 0

$f'' (x) = 0$

f'' (x) = 0

$f'' (x) = 0$

f'' (x) = 0

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к

0

$0$ и решим полученное уравнение.

- \frac{x}{| x |} = 0

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная

- | x | + 7

$- | x | + 7$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$ .

\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- | x |]

$\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- | x |

$- | x |$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [| x |]

$- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]

$- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.2.2

Производная

| x |

$| x |$ по

x

$x$ равна

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$ .

- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку

7

$7$ является константой относительно

x

$x$ , производная

7

$7$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

- \frac{x}{| x |} + 0

$- \frac{x}{| x |} + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим

- \frac{x}{| x |}

$- \frac{x}{| x |}$ и

0

$0$ .

f' (x) = - \frac{x}{| x |}

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

f' (x) = - \frac{x}{| x |}

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

f' (x) = - \frac{x}{| x |}

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Этап 4.2

Первая производная

f (x)

$f (x)$ по

x

$x$ равна

- \frac{x}{| x |}

$- \frac{x}{| x |}$ .

- \frac{x}{| x |}

$- \frac{x}{| x |}$

- \frac{x}{| x |}

$- \frac{x}{| x |}$

Этап 5

Приравняем первую производную к

0

$0$ , затем найдем решение уравнения

- \frac{x}{| x |} = 0

$- \frac{x}{| x |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна

0

$0$ .

- \frac{x}{| x |} = 0

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

x = 0

$x = 0$

Этап 5.3

Исключим решения, которые не делают

- \frac{x}{| x |} = 0

$- \frac{x}{| x |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в

$\frac{x}{| x |}$ равным

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак

$\pm$ , поскольку

$| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус

$0$ равно

$0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в

$x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0$

Этап 9

Поскольку есть по крайней мере одна точка с

$0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем

$(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений

$x$ , при которых первая производная равна

$0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 9.2

Подставим любое число такое, что

$- 2$ , из интервала

$(- \infty, 0)$ в первую производную

$- \frac{x}{| x |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

Этап 9.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$- 2$ и

$0$ равно

$2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

Этап 9.2.2.2

Разделим

$- 2$ на

$2$ .

$f' (- 2) = 1$

Этап 9.2.2.3

Окончательный ответ:

$1$ .

$1$

Этап 9.3

Подставим любое число такое, что

$2$ , из интервала

$(0, \infty)$ в первую производную

$- \frac{x}{| x |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

Этап 9.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$2$ равно

$2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Этап 9.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Этап 9.3.2.3

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$f' (2) = - 1$

Этап 9.3.2.4

Окончательный ответ:

$- 1$ .

$- 1$

Этап 9.4

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности

$x = 0$ ,

$x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 10