Математический анализ Примеры

$f (x) = - | x | + 7$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- | x | + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- | x |$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2.2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x}{| x |} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $- \frac{x}{| x |}$ и $0$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Умножим $| x |$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

Объединим $\frac{x}{| x |}$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $\frac{x}{| x |}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Этап 2.11.2

Добавим $- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Чтобы записать $| x |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.3.1

Умножим $| x | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.3.1.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.4

Разделим $0$ на $| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Этап 2.12.3

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

Этап 2.12.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- | x | + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- | x |$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.2.2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x}{| x |} + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- \frac{x}{| x |}$ и $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 5.3

Исключим решения, которые не делают $- \frac{x}{| x |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0$

Этап 9

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 9.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- \frac{x}{| x |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

Этап 9.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

Этап 9.2.2.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$f' (- 2) = 1$

Этап 9.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 9.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $- \frac{x}{| x |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

Этап 9.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Этап 9.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Этап 9.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (2) = - 1$

Этап 9.3.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 9.4

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 10