Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 6 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 6 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $6 \cos (t)$ положительно.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $6 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.3

Умножим $36$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $36$ из $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $36$ из $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $36 \cos^{2} (t)$ в виде ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $6 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

Этап 3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

Этап 4

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $- \cos (t)$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

Этап 5.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Этап 5.3.2.4

Перепишем это выражение.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

Этап 5.3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Десятичная форма:

$0.80384757 \dots$