Математический анализ Примеры

$| x^{2} - 4 x |$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Этап 1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x - 4 \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x - 4)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(2 x - 4) \frac{x \cdot x - 4 x}{| x^{2} - 4 x |}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$(2 x - 4) \frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{| x^{2} - 4 x |}$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x^{2} - 4 x |}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x - 4 x |}$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x + x \cdot - 4 |}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x + x \cdot - 4 |}$

Этап 3.3.3

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x^{2} + x \cdot - 4 |}$

Этап 3.3.4

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x^{2} - 4 \cdot x |}$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x - 4 x |}$

Этап 3.3.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x + x \cdot - 4 |}$

Этап 3.3.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Этап 3.4

Умножим $2 x - 4$ на $\frac{x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$ .

$\frac{(2 x - 4) (x (x - 4))}{| x (x - 4) |}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{(2 (x) - 4) x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2) x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Этап 3.6

Изменим порядок множителей в $\frac{2 (x - 2) x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$ .

$\frac{2 x (x - 2) (x - 4)}{| x (x - 4) |}$