Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{2} 4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $0$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 11.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (4 - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$4 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (4 - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (4 - 0) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (4 + 0) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.6

Добавим $4$ и $0$ .

$4 \cdot 4 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.7

Умножим $4$ на $4$ .

$16 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} - 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} + 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.12

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.13

Объединим $- 3$ и $\frac{8}{3}$ .

$16 + \frac{- 3 \cdot 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.14

Умножим $- 3$ на $8$ .

$16 + \frac{- 24}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.15

Сократим общий множитель $- 24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.15.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$16 + \frac{3 \cdot - 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$16 + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$16 + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$16 + \frac{- 8}{1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.15.2.4

Разделим $- 8$ на $1$ .

$16 - 8 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.16

Вычтем $8$ из $16$ .

$8 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.18

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.18.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$8 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$8 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.18.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$8 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.19

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 + 2 (2 - \frac{0}{2})$

Этап 11.2.4.20

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$8 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 11.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 11.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$8 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 11.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$8 + 2 (2 - \frac{0}{1})$

Этап 11.2.4.20.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$8 + 2 (2 - 0)$

Этап 11.2.4.21

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 + 2 (2 + 0)$

Этап 11.2.4.22

Добавим $2$ и $0$ .

$8 + 2 \cdot 2$

Этап 11.2.4.23

Умножим $2$ на $2$ .

$8 + 4$

Этап 11.2.4.24

Добавим $8$ и $4$ .

$12$

Этап 12