Математический анализ Примеры

$3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y = - 44$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 44)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.3

Умножим $24$ на $1$ .

$6 x + 24 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x + 24 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$6 x + 24 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x + 24 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$6 x + 24 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 x + 24 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 y'$

Этап 2.6

Изменим порядок членов.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24$

Этап 3

Поскольку $- 44$ является константой относительно $x$ , производная $- 44$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' + 2 y' + 24 = - 6 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' + 2 y' = - 6 x - 24$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y y' + 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' = - 6 x - 24$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1 = - 6 x - 24$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ на $2 (- y + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ на $2 (- y + 1)$ .

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 12}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} - \frac{12}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x - 12}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (- x) - 12}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$y' = \frac{3 (- x) + 3 (- 4)}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 (- 4)$ .

$y' = \frac{3 (- x - 4)}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{3 (- (x) - 4)}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{3 (- (x) - 1 (4))}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{3 (- (x + 4))}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2.6

Перепишем $- (x + 4)$ в виде $- 1 (x + 4)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- y + 1}$

Этап 5.3.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) + 1}$

Этап 5.3.3.2.8

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) - 1 (- 1)}$

Этап 5.3.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y - 1)}$

Этап 5.3.3.2.10

Перепишем $- (y - 1)$ в виде $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Этап 5.3.3.2.11

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Этап 5.3.3.2.12

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$