Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\sin (\frac{1}{θ})$ и $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Этап 1.2

Объединим $\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ и $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Этап 2

Пусть $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Тогда $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = \sin (θ)$ и $g (θ) = \frac{1}{θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{1}{θ}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{θ}$ в виде $θ^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

Этап 2.1.4.2

Объединим $\cos (\frac{1}{θ})$ и $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 5

Перепишем $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$