Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Этап 5

Пусть $u = 6 x + 3$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 6 x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $6 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

Этап 6

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Этап 9

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

Этап 10

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 12.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

Этап 12.2.3

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

Этап 12.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 12.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 12.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

Этап 12.2.3.2.4

Разделим $- 2 x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$