Математический анализ Примеры

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Этап 1

Запишем ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ в виде функции.

$f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7} d x$

Этап 4

Пусть $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{7} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int u^{7} (1 \cdot 2) d u$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int u^{7} \cdot 2 d u$

Этап 5.3

Перенесем $2$ влево от $u^{7}$ .

$\int 2 u^{7} d u$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u^{7} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{7}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ .

$2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} u^{8} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} u^{8} + C$

Этап 8.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Этап 8.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} u^{8} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$