Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t_{1}$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

Этап 2

Пусть $u = - s t$ . Тогда $d u = - s d t$ , следовательно $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - s t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- s$ является константой относительно $t$ , производная $- s t$ по $t$ равна $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- s$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = - s t$ .

$u_{lower} = - s \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $- s \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$u_{lower} = 0 s$

Этап 2.3.2

Умножим $0$ на $s$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = - s t$ .

$u_{upper} = - s t_{1}$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{s}$ и $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{s}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{s}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

Этап 7

Объединим $e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ и $\frac{1}{s}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- s t_{1}$ и в $0$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

Этап 8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t_{1}$ .

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Этап 9.1.2

Вынесем член $\frac{1}{s}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t_{1}$ .

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

Этап 9.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t_{1}$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Этап 9.2

Поскольку показатель степени $- s t_{1}$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- s t_{1}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Этап 9.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t_{1}$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

Этап 9.3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

Этап 9.3.2.3

Умножим $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{s}$

Этап 9.3.2.3.2

Умножим $\frac{1}{s}$ на $1$ .

$\frac{1}{s}$