Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) - 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = \sec (x) - 1$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sec (x) - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sec (x) - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $\sec (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $\sec (x) \tan (x)$ и $0$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x) - 1$ .

$\ln (| \sec (x) - 1 |) + C$