Математический анализ Примеры

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Этап 5

Пусть $u = y + 8$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = y + 8$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $y + 8$ .

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $y + 8$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 5.1.4

Поскольку $8$ является константой относительно $y$ , производная $8$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 8$ .

$u_{lower} = - 7 + 8$

Этап 5.3

Добавим $- 7$ и $8$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 8$ .

$u_{upper} = 0 + 8$

Этап 5.5

Добавим $0$ и $8$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{2} y^{2}$ в $0$ и в $- 7$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Этап 8.2

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $8$ и в $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.3

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.4

Умножим $49$ на $- 1$ .

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.5

Объединим $- 49$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.7

Вычтем $\frac{49}{2}$ из $0$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.8

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.9

Умножим $7$ на $2$ .

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.10

Сократим общий множитель $49$ и $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Вынесем множитель $7$ из $49$ .

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.2.1

Вынесем множитель $7$ из $14$ .

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.12

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.13

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.13.2

Умножим $3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.13.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.15

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.17

Добавим $2$ и $9$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.18

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 8.3.19

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 8.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Этап 8.3.21

Чтобы записать $- \frac{7}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Этап 8.3.22

Чтобы записать $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.3.23

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.23.1

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.3.23.2

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.3.23.3

Умножим $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 8.3.23.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Этап 8.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Этап 8.3.25

Умножим $- 7$ на $3$ .

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Этап 8.3.26

Перенесем $2$ влево от $2^{\frac{11}{2}} - 2$ .

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- 21$ в виде $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Этап 9.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 10.2

Умножим $- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 10.2.2

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 10.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 10.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 10.2.6

Добавим $2$ и $11$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 10.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

Этап 10.4

Добавим $21$ и $4$ .

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Десятичная форма:

$10.91827799 \dots$

Этап 12