Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9 = \sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 + \sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 = - 1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} + \sum_{k = 1}^{6} - 9$

Этап 2.2

Найдем значение $1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Добавим $6$ и $1$ .

$- 1 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Умножим $6$ на $7$ .

$- 1 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.3

Добавим $12$ и $1$ .

$- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Этап 2.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $42$ на $13$ .

$- 1 (\frac{546}{6})$

Этап 2.2.3.2.2

Разделим $546$ на $6$ .

$- 1 \cdot 91$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $91$ .

$- 91$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{6} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.3.2

Подставим значения в формулу.

$(- 9) (6)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 9$ на $6$ .

$- 54$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$- 91 - 54$

Этап 2.5

Вычтем $54$ из $- 91$ .

$- 145$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$- 0^{2} - 9$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $0$ в степень $2$ .

$- 0 - 9$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 - 9$

Этап 3.2.3

Вычтем $9$ из $0$ .

$- 9$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- 145 - 9$

Этап 5

Вычтем $9$ из $- 145$ .

$- 154$