Математический анализ Примеры

$\sqrt{\frac{4}{x}} - \sqrt{3 x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt{\frac{4}{x}} - \sqrt{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{4}{x}}$ в виде ${(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{4}{x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.11

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- 4 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.12

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.13

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{x^{- 2} \cdot - 4}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.14

Перенесем $- 4$ влево от $x^{- 2}$ .

$\frac{- 4 \cdot x^{- 2}}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.15

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.16

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3.4

Поскольку $- 3^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $- 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.13

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{x}{4})}^{\frac{1}{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.4

Найдем экспоненту.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ на $\frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.6

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.7

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.8.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.8.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.8.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.8.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$- \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.9

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.10

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$