Математический анализ Примеры

$\frac{(1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - \ln (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $1 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 4.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Этап 4.4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 2 (- \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Этап 6.2.1.2.2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 6.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 6.3

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Этап 6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$