Математический анализ Примеры

$x \ln (x + 1)$

Этап 1

Запишем $x \ln (x + 1)$ в виде функции.

$f (x) = x \ln (x + 1)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \ln (x + 1) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x + 1)$ и $d v = x$ .

$\ln (x + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (x + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 5.2

Объединим $\ln (x + 1)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 7

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Этап 8

Разделим $x^{2}$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Этап 8.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Этап 8.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Этап 8.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Этап 8.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Этап 8.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Этап 8.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 12

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 12.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Этап 14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Этап 14.2.2

Объединим $\frac{\ln (x + 1)}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Этап 14.2.3

Чтобы записать $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 14.2.4

Объединим $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.2.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Этап 14.2.8

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Этап 14.2.9

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Этап 14.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Этап 14.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Этап 14.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Этап 14.2.9.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Чтобы записать $\ln (| x + 1 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Этап 16.2

Объединим $\ln (| x + 1 |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Этап 16.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Этап 16.4

Перенесем $2$ влево от $\ln (| x + 1 |)$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

Этап 16.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Этап 16.6

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Этап 16.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \ln (x + 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$