Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[5]{x^{2} - 8 x + 1}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{2} - 8 x + 1}$ в виде ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$y = {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ и $g (x) = x^{2} - 8 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.5.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.6.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.6.3

Перенесем ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Этап 4.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.9

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.11

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 + 0)$

Этап 4.13

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8)$

Этап 4.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.14.2

Умножим $2 x - 8$ на $\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.14.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.14.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.14.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$