Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x^{2} + 2 x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 2 x}$ в виде ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.6.3

Перенесем ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 4.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1)$

Этап 4.11

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

Этап 4.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.2

Умножим $2 x + 2$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.4

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.12.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$