Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (x^{2} + x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{4} x^{2} + x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ и $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 16 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{64}{3} + \frac{16}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.5

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{3} + \frac{8}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.5.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{64}{3} + 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.6

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.7

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{64 + 24}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.9.2

Добавим $64$ и $24$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.11

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 5.2.2.12

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 5.2.2.13

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$

Этап 5.2.2.14

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 5.2.2.15

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 5.2.2.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.16.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 5.2.2.16.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 5.2.2.16.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Этап 5.2.2.16.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})$

Этап 5.2.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{88}{3} - \frac{2 + 3}{6}$

Этап 5.2.2.18

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{88}{3} - \frac{5}{6}$

Этап 5.2.2.19

Чтобы записать $\frac{88}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

Этап 5.2.2.20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.20.1

Умножим $\frac{88}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

Этап 5.2.2.20.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{88 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

Этап 5.2.2.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{88 \cdot 2 - 5}{6}$

Этап 5.2.2.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.22.1

Умножим $88$ на $2$ .

$\frac{176 - 5}{6}$

Этап 5.2.2.22.2

Вычтем $5$ из $176$ .

$\frac{171}{6}$

Этап 5.2.2.23

Сократим общий множитель $171$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.23.1

Вынесем множитель $3$ из $171$ .

$\frac{3 (57)}{6}$

Этап 5.2.2.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.23.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

Этап 5.2.2.23.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

Этап 5.2.2.23.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{57}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{57}{2}$

Десятичная форма:

$28.5$

Форма смешанных чисел:

$28 \frac{1}{2}$

Этап 7