Математический анализ Примеры

$\frac{3 - 5 x}{2 x^{2} - 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 - 5 x$ и $g (x) = 2 x^{2} - 3$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 - 5 x] - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [- 5 x] - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (- 5 \cdot 1) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \cdot - 5 - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $- 5$ влево от $2 x^{2} - 3$ .

$\frac{- 5 \cdot (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x)}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - 4 (3 - 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 - 4 (3 - 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 + (- 4 \cdot 3 - 4 (- 5 x)) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 \cdot - 3 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 (x \cdot x))}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 x^{2})}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 5$ на $- 4$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x + 20 x^{2}}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Добавим $- 10 x^{2}$ и $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 15 - 12 x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{10 x^{2} - 12 x + 15}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$