Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ положительно.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{\tan (t)}{2}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ на $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ на $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

Этап 2.2.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.7.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.8

Сократим общий множитель $\sec^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Этап 2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Этап 2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Этап 2.2.9

Выразим $\tan (t)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Этап 2.2.10

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Этап 2.2.11

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Этап 2.2.12

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Этап 2.2.12.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Этап 2.2.13

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Этап 3

Интеграл $\csc (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$