Математический анализ Примеры

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{5})$

Этап 1

Вынесем член $- 11$ из-под знака предела, так как он не зависит от $r$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{5})$

Этап 2

Объединим $\frac{r}{3}$ и $\ln (\frac{r}{5})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{5})}{3}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{5})$

Этап 4

Перепишем $r \ln (\frac{r}{5})$ в виде $\frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{5})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Этап 5.1.2

Когда $r$ стремится к $0$ справа, $\ln (\frac{r}{5})$ неограниченно убывает.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Этап 5.1.3

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда $r$ стремится к $0$ справа, дробь $\frac{1}{r}$ стремится к бесконечности.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Этап 5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ имеет вид $f' (g (r)) g' (r)$ , где $f (r) = \ln (r)$ и $g (r) = \frac{r}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{5}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.4

Умножим $\frac{5}{r}$ на $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.5

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{r}{5}$ по $r$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.6

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{5}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.9

Умножим $\frac{1}{r}$ на $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Этап 5.3.10

Перепишем $\frac{1}{r}$ в виде $r^{- 1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

Этап 5.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

Этап 5.3.12

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{r}$ и $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $r^{2}$ и $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

Этап 5.6.2.2

Вынесем множитель $r$ из $r^{1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Этап 5.6.2.3

Сократим общий множитель.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Этап 5.6.2.4

Перепишем это выражение.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

Этап 5.6.2.5

Разделим $r$ на $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

Этап 6.1.2

Найдем предел $r$ , подставив значение $0$ для $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $- 11$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

Этап 6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

Этап 6.2.3

Умножим $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $0$ на $\frac{11}{3}$ .

$0$