Математический анализ Примеры

$- x^{2} + y^{2} = - 3 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 3 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 2 x + 2 y y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$2 y y' - 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 3 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' - 2 x = - 3 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $3 y'$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' - 2 x + 3 y' = 0$

Этап 5.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' + 3 y' = 2 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y' + 3 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (2 y) + 3 y' = 2 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot 3 = 2 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (2 y + 3) = 2 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (2 y + 3) = 2 x$ на $2 y + 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (2 y + 3) = 2 x$ на $2 y + 3$ .

$\frac{y' (2 y + 3)}{2 y + 3} = \frac{2 x}{2 y + 3}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y + 3)}{2 y + 3} = \frac{2 x}{2 y + 3}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y + 3}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y + 3}$