Математический анализ Примеры

$y = x + \frac{1}{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + \frac{1}{x}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 1$ и $g (y) = x$ .

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Этап 3.3.4

Умножим $x$ на $0$ .

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Этап 3.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

Этап 3.3.6

Вычтем $x'$ из $0$ .

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

Этап 3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 5.3

Каждый член в $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ на $x^{2}$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x'}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x'$ из $- x' + x' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $x'$ из $- x'$ .

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $x'$ из $x' x^{2}$ .

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ .

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

Этап 5.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

Этап 5.4.3

Изменим порядок $- 1^{2}$ и $x^{2}$ .

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

Этап 5.4.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

Этап 5.4.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

Этап 5.4.5

Разделим каждый член $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ на $(x + 1) (x - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Разделим каждый член $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.4.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.4.5.2.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.4.5.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$