Математический анализ Примеры

$\int \tan^{3} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\tan^{2} (x)$ за скобки.

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 6

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 7

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 7.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 9

Упростим.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$