Математический анализ Примеры

$t (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ , $x - 5$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) + f' (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) (x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$

Этап 3

Найдем значение $f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ .

$f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) = (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$

Этап 3.2

Упростим $(x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$(x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$

Этап 3.2.2

Вычтем $5$ из $45$ .

$x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40$

Этап 4

Найдем производную $f (x) = x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 + 1 (x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ на $1$ .

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 + x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$

Этап 6.1.2

Вычтем $9 x$ из $x$ .

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Этап 6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$L (x) = - 5 x^{2} - 9 x + 40 + 0 - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Этап 6.2.1.2

Добавим $- 5 x^{2} - 9 x + 40$ и $0$ .

$L (x) = - 5 x^{2} - 9 x + 40 - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Этап 6.2.2

Вычтем $5 x^{2}$ из $- 5 x^{2}$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 9 x + 40 - 8 x + 45$

Этап 6.2.3

Вычтем $8 x$ из $- 9 x$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 17 x + 40 + 45$

Этап 6.2.4

Добавим $40$ и $45$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 17 x + 85$

Этап 7