Математический анализ Примеры

$\int (\frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Этап 2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int \frac{x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{7} + 2$ . Тогда $d u = 7 x^{6} d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = x^{6} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{7} + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{7} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} + 2]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x^{7} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 x^{6} + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $7 x^{6}$ и $0$ .

$7 x^{6}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$7 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{7}$ .

$7 \int \frac{1}{u \cdot 7} d u$

Этап 4.2

Перенесем $7$ влево от $u$ .

$7 \int \frac{1}{7 u} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{7} + 2$ .

$\ln (| x^{7} + 2 |) + C$