Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 2)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 4)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(3 - 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.1.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1 - {(3 - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.1.5

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{1 - {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.1.6

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.6.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.1.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.1.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{3}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.1.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.9.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 2) - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.4.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.5

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - ((x - 4) (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.6

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x (x - 4) - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.7.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.7.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.7.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.10.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.12

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.12.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x^{2} - 8 x + 16)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.12.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.12.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.12.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.12.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.12.6

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.12.7

Умножим $- 8$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.12.8

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.13.2.1

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.13.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.13.2.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.13.2.4

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.13.2.5

Вычтем $4$ из $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.13.2.6

Добавим $- 4$ и $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.14

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.16

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + 0}$

Этап 1.3.17

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1}$

Этап 1.4

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} 4$

Этап 2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$4$