Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (1 + \arctan (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Найдем предел $\arctan (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \arctan (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.4.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.5.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 + \arctan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.7

Умножим $\frac{1}{1 + \arctan (x)}$ на $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Этап 4.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Этап 4.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Этап 4.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Этап 4.8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $\arctan (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + \arctan (0)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Этап 5.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + 0^{2})}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{1}{1 (1 + 0^{2})}}$

Этап 6.1.2

Умножим $1 + 0^{2}$ на $1$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0^{2}}}$

Этап 6.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Этап 6.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Этап 6.2

Разделим $1$ на $1$ .

$e^{1}$

Этап 6.3

Упростим.

$e$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e$

Десятичная форма:

$2.71828182 \dots$