Математический анализ Примеры

$- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

Этап 1

Запишем $- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- \frac{3}{20}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{20} x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.6

Объединим $\frac{- 15}{20}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.7

Сократим общий множитель $- 15$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x^{3}$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 (3 x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $11$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- \frac{3}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 x^{4}}{4}$ по $x$ равна $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.5

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.6

Объединим $\frac{- 12}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.7

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.2.7.2.4

Разделим $- 3 x^{3}$ на $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $33$ является константой относительно $x$ , производная $33 x^{2}$ по $x$ равна $33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 33 (2 x)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $33$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 66 x$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{3} + 66 x$ .

$- 3 x^{3} + 66 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{3} + 66 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 3 x^{3} + 66 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3} + 66 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 66 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $66 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 22 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 22)$ .

$- 3 x (x^{2} - 22) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 22 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x^{2} - 22$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x^{2} - 22$ к $0$ .

$x^{2} - 22 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $x^{2} - 22 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $22$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 22$

Этап 3.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{22}$

Этап 3.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{22}$

Этап 3.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{22}$

Этап 3.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 x (x^{2} - 22) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 11 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 11 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- \frac{3}{20} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 11 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{20}$ .

$f (0) = 0 + 11 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 11 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $11$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $\sqrt{22}$ в $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(\sqrt{22})}^{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{22}}^{5}$ в виде $\sqrt{22^{5}}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $22$ в степень $5$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем $5153632$ в виде $484^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $234256$ из $5153632$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.3.2

Перепишем $234256$ в виде $484^{2}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{20}$ в числитель.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $484 \sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.6

Объединим $121$ и $\frac{- 3}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{121 \cdot - 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.7

Умножим $121$ на $- 3$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.8

Объединим $\frac{- 363}{5}$ и $\sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{22}}^{3}$ в виде $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{3}}$

Этап 4.3.2.1.11

Возведем $22$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{10648}$

Этап 4.3.2.1.12

Перепишем $10648$ в виде $22^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.12.1

Вынесем множитель $484$ из $10648$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{484 (22)}$

Этап 4.3.2.1.12.2

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{2} \cdot 22}$

Этап 4.3.2.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (22 \sqrt{22})$

Этап 4.3.2.1.14

Умножим $22$ на $11$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22}$

Этап 4.3.2.2

Чтобы записать $242 \sqrt{22}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 4.3.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Объединим $242 \sqrt{22}$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Этап 4.3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Этап 4.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим $5$ на $242$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 1210 \sqrt{22}}{5}$

Этап 4.3.2.4.2

Добавим $- 363 \sqrt{22}$ и $1210 \sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Этап 4.3.2.5

Окончательный ответ: $\frac{847 \sqrt{22}}{5}$ .

$\frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Этап 4.4

Подставляя $\sqrt{22}$ в $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , найдем точку $(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Этап 4.5

Подставим $- \sqrt{22}$ в $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(- \sqrt{22})}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{22}}^{5}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{5}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.2.3

Добавим $5$ и $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{6} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f (- \sqrt{22}) = 1 (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.4

Умножим $\frac{3}{20}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{22}}^{5}$ в виде $\sqrt{22^{5}}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.6

Возведем $22$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.7

Перепишем $5153632$ в виде $484^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.7.1

Вынесем множитель $234256$ из $5153632$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.7.2

Перепишем $234256$ в виде $484^{2}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.9.2

Вынесем множитель $4$ из $484 \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.9.3

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.9.4

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.10

Объединим $121$ и $\frac{3}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{121 \cdot 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.11

Умножим $121$ на $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.12

Объединим $\frac{363}{5}$ и $\sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.13

Применим правило умножения к $- \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{22}}^{3})$

Этап 4.5.2.1.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- {\sqrt{22}}^{3})$

Этап 4.5.2.1.15

Перепишем ${\sqrt{22}}^{3}$ в виде $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{3}})$

Этап 4.5.2.1.16

Возведем $22$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{10648})$

Этап 4.5.2.1.17

Перепишем $10648$ в виде $22^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.17.1

Вынесем множитель $484$ из $10648$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{484 (22)})$

Этап 4.5.2.1.17.2

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{2} \cdot 22})$

Этап 4.5.2.1.18

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- (22 \sqrt{22}))$

Этап 4.5.2.1.19

Умножим $22$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- 22 \sqrt{22})$

Этап 4.5.2.1.20

Умножим $- 22$ на $11$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22}$

Этап 4.5.2.2

Чтобы записать $- 242 \sqrt{22}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 4.5.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Объединим $- 242 \sqrt{22}$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{- 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Этап 4.5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Этап 4.5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1

Умножим $5$ на $- 242$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 1210 \sqrt{22}}{5}$

Этап 4.5.2.4.2

Вычтем $1210 \sqrt{22}$ из $363 \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{- 847 \sqrt{22}}{5}$

Этап 4.5.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Этап 4.5.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$ .

$- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Этап 4.6

Подставляя $- \sqrt{22}$ в $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , найдем точку $(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Этап 4.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \sqrt{22}) \cup (- \sqrt{22}, 0) \cup (0, \sqrt{22}) \cup (\sqrt{22}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{22})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.79041575$ .

$f'' (- 4.79041575) = - 3 {(- 4.79041575)}^{3} + 66 (- 4.79041575)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 4.79041575$ в степень $3$ .

$f'' (- 4.79041575) = - 3 \cdot - 109.93085918 + 66 (- 4.79041575)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 109.93085918$ .

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 + 66 (- 4.79041575)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $66$ на $- 4.79041575$ .

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 - 316.16744014$

Этап 6.2.2

Вычтем $316.16744014$ из $329.79257756$ .

$f'' (- 4.79041575) = 13.62513741$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $13.62513741$ .

$13.62513741$

Этап 6.3

При $- 4.79041575$ вторая производная имеет вид $13.62513741$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \sqrt{22})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \sqrt{22})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \sqrt{22}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.34520787$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 3 {(- 2.34520787)}^{3} + 66 (- 2.34520787)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 2.34520787$ в степень $3$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 3 \cdot - 12.89864333 + 66 (- 2.34520787)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 12.89864333$ .

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 + 66 (- 2.34520787)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $66$ на $- 2.34520787$ .

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 - 154.78372007$

Этап 7.2.2

Вычтем $154.78372007$ из $38.69593001$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 116.08779005$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 116.08779005$ .

$- 116.08779005$

Этап 7.3

При $- 2.34520787$ вторая производная имеет вид $- 116.08779005$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \sqrt{22}, 0)$ .

Убывание на $(- \sqrt{22}, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \sqrt{22})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.34520787$ .

$f'' (2.34520787) = - 3 {(2.34520787)}^{3} + 66 (2.34520787)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2.34520787$ в степень $3$ .

$f'' (2.34520787) = - 3 \cdot 12.89864333 + 66 (2.34520787)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 3$ на $12.89864333$ .

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 66 (2.34520787)$

Этап 8.2.1.3

Умножим $66$ на $2.34520787$ .

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 154.78372007$

Этап 8.2.2

Добавим $- 38.69593001$ и $154.78372007$ .

$f'' (2.34520787) = 116.08779005$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $116.08779005$ .

$116.08779005$

Этап 8.3

При $2.34520787$ вторая производная имеет вид $116.08779005$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \sqrt{22})$ .

Возрастание в области $(0, \sqrt{22})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(\sqrt{22}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.79041575$ .

$f'' (4.79041575) = - 3 {(4.79041575)}^{3} + 66 (4.79041575)$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $4.79041575$ в степень $3$ .

$f'' (4.79041575) = - 3 \cdot 109.93085918 + 66 (4.79041575)$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 3$ на $109.93085918$ .

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 66 (4.79041575)$

Этап 9.2.1.3

Умножим $66$ на $4.79041575$ .

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 316.16744014$

Этап 9.2.2

Добавим $- 329.79257756$ и $316.16744014$ .

$f'' (4.79041575) = - 13.62513741$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $- 13.62513741$ .

$- 13.62513741$

Этап 9.3

При $4.79041575$ вторая производная имеет вид $- 13.62513741$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\sqrt{22}, \infty)$ .

Убывание на $(\sqrt{22}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 10

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ .

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Этап 11