Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (x^{16} + 16^{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} x^{16} + 16^{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x^{16} d x + \int_{0}^{1} 16^{x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{16}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{17} x^{17}$ .

$\frac{1}{17} x^{17}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 16^{x} d x$

Этап 4

Интеграл $16^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{16^{x}}{\ln (16)}$ .

$\frac{1}{17} x^{17}]_{0}^{1} + \frac{16^{x}}{\ln (16)}]_{0}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{17} x^{17}]_{0}^{1}$ и $\frac{16^{x}}{\ln (16)}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{17} x^{17} + \frac{16^{x}}{\ln (16)}]_{0}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{17} x^{17} + \frac{16^{x}}{\ln (16)}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{17} \cdot 1^{17} + \frac{16^{1}}{\ln (16)}) - (\frac{1}{17} \cdot 0^{17} + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{17} \cdot 1 + \frac{16^{1}}{\ln (16)} - (\frac{1}{17} \cdot 0^{17} + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{1}{17}$ на $1$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16^{1}}{\ln (16)} - (\frac{1}{17} \cdot 0^{17} + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Этап 5.2.2.3

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - (\frac{1}{17} \cdot 0^{17} + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Этап 5.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - (\frac{1}{17} \cdot 0 + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Этап 5.2.2.5

Умножим $\frac{1}{17}$ на $0$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - (0 + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Этап 5.2.2.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - (0 + \frac{1}{\ln (16)})$

Этап 5.2.2.7

Добавим $0$ и $\frac{1}{\ln (16)}$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - \frac{1}{\ln (16)}$

Этап 5.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{17} + \frac{16 - 1}{\ln (16)}$

Этап 5.2.2.9

Вычтем $1$ из $16$ .

$\frac{1}{17} + \frac{15}{\ln (16)}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\ln (16)$ в виде $\ln (2^{4})$ .

$\frac{1}{17} + \frac{15}{\ln (2^{4})}$

Этап 6.2

Развернем $\ln (2^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\frac{1}{17} + \frac{15}{4 \ln (2)}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{17} + \frac{15}{4 \ln (2)}$

Десятичная форма:

$5.46892993 \dots$

Этап 8