Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x + 3}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ .

$F (x) =$ $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$